ЛЕКЦИЯ 5

 

 

3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

3.1. Понятие вектора

 

О п р е д е л е н и е. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок. Обозначается символами  . Вектор имеет длину , направление –  угол между вектором и горизонтальной осью. Нулевой вектор – вектор, длина которого равна нулю.

О п р е д е л е н и е. Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых (направления могут совпадать или быть противоположными).

             

                     сонаправленные

 

 

            Противоположно направленные

 

О п р е д е л е н и е. Компланарными называются три вектора, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Существуют следующие типы векторов

1.                свободные векторы (перемещаются в любом направлении),

2.                скользящие векторы (перемещаются по прямой),

3.                связанные векторы (начало или конец вектора зафиксированы).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одно направление.

 

3.2 Линейные операции над векторами

 

О п р е д е л е н и е.  Суммой векторов  и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с вектором , при условии, что конец вектора  совпадает с началом вектора .

               

                            

             

 

                                       

                              

                               

                           

                  

                                     

   

                                      

    

         

   

Операция сложения векторов обладает теми же свойствами, что и операция сложения для вещественных чисел.

Разность векторов – обратная операция сложению векторов. Вектор  называется разностью векторов  и , если . Обозначается  .

О п ре д е л е н и е. Произведением вектора  на число   называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает, если , противоположно, если <0.

Т е о р е м а. Если вектор  коллинеарен вектору , не равному нулю, то существует такое число , что =.

           1) >0,

                                                                        

                    О                 А               О                               В

                                                                            А          

   

2) < 0                                                   

                                                                                                  

                    О                 А                                                    

                                               В                            О           А

.  

                                                      

Разность векторов  можно представить в виде

.

Операция умножение векторов на число обладает теми же свойствами, что и произведение вещественных чисел.

         О п р е д е л е н и е. Система векторов  называется линейно зависимой, если существует такие неравные одновременно нулю числа ,что

.

Система векторов называется линейно независимой, если это равенство возможно только при

.

Любые два коллинеарных вектора линейно зависимые. Любые три компланарных вектора на плоскости линейно зависимые. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимые.

Рассмотрим три компланарных вектора    .

1.                Совместим начала этих векторов с точкой  О.

 

                                                                                      D                      С

                                                                                О          В   E

 

2.                Проведем прямые через эти векторы.

3.                Проведем через точку С прямые, параллельные  векторам  и 

4.                ,

  

.                                                        (2)

 

Выражение (2) можно преобразовать следующим образом

 .                                                     (3)

Из выражения (3) и следует, что компланарные векторы линейно зависимые. Справедливо и обратное утверждение, что три линейно зависимых вектора компланарны.

Выражение (2) называется разложением вектора   по векторам . Аналогично доказывается, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Если векторы  не компланарны, т.е. линейно независимы, то любой четвертый вектор  можно представить в виде линейной комбинации

.                                                                  (3)

Выражение (3) называется разложением вектора   по векторам .

 

         3.3 Системы координат

 

О п р е д е л е н и е. Базисом в пространстве (на плоскости) называется совокупность любых трех (двух) линейно независимых векторов.  Базис обозначается

О п р е д е л е н и е. Системой координат называется совокупность базиса и точки  О, называемой началом.

 

 

                                          

                                                                      О

                                                 

        

Аффинная система координат.    и     .

                                                              

                                                                   Y

 

 

 

 

                                   О                                                           X

Декартова прямоугольная  система координат (ДПСК).

    и     .     

                   Y

                                                              

                              y                                           

 

                                  

 

 

                                  

                             О                                    x                     X

                          

Всякий вектор  можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.

.

Числа  в этом случае называются координатами вектора  в базисе  . Векторы, длина которых равна 1 – единичные векторы. Ортогональные векторы, если они взаимно перпендикулярны. 

Ортонормированный базис  –  это базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов

.

На практике чаще используется ортонормированный базис  ,

образующий правую тройку.

Векторы  образуют правую тройку, если поворот первого из них ко второму с конца третьего вектора проводится по часовой стрелке.

О п р е д е л е н и е. Проекцией вектора  на вектор  или на ось и называется число, равное произведению длины вектора  на косинус угла  между этими векторами (между вектором  и осью и)

В ДПСК координаты вектора совпадают с проекциями вектора

,

.

Поэтому разложение вектора  по базису  будет иметь вид

или

или

Операции сложения и умножения вектора на число, когда векторы заданы координатами, сводятся к соответствующим операциям над их координатами

,

.

Справедливость последних выражений  вытекает из определений указанных операций и их свойств.

П р и м е р. Найдите сумму векторов  и  .

Р е ш е н и е.

.

Векторы  и  коллинеарны, если их координаты пропорциональны

Векторы  компланарны, если выполняется условие

.

 

         3.4. Скалярное произведение векторов

 

О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов  и   называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними  .

Скалярное произведение символически обозначается

.                                                                  (4)

Если воспользоваться определением, то скалярное произведение можно представить в виде

.                                                                 (5)

С в о й с т в а   скалярного произведения

1.                =0, если

2.                , множители можно менять местами.

3.               

4.               

 

В ы ч и с л е н и е скалярного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства скалярного произведения, получаем

.

 

 

С учетом того, что

,

 получается

.                                                                  (7)

В частности

,

откуда

.                                                                        (8)

Как следует из выражения (4), скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. С помощью выражений (5) и (6) получаем

.                                                    (9)

П р и м е р. Найдите скалярное произведение векторов  и косинус угла между ними.

Р е ш е н и е. Подставляем координаты векторов в формулу (4) и получаем значение скалярного произведения

С помощью формулы (9) находим косинус угла между векторами

.

3.5 Векторное произведение векторов

 

О п р е д е л е н и е. Векторным произведением  и    называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям

1.                .

2.                .

3.                Векторы  образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение символически обозначается

.

Свойства векторного произведения

1.                ,

2.                ,

3.               

4.                Векторное произведение по абсолютной величине равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на составляющих  

 

 

 

                                                

                

                                                    

                                                                                 

                                                                                

 

Вычисление векторного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства векторного произведения, получаем

.

 

С учетом того, что

,

 получаем

                                               (10)

или

.                                                                       (11)

 

Векторное произведение в ДПСК согласно формуле (11) представляет собой символический определитель третьего порядка. Элементы первой строки – единичные векторы, элементы второй строки – координаты первого вектора, элементы третьей строки – координаты второго вектора.

 

3.6.Смешанное произведение

 

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением трех векторов  называется число, которое получается, если векторы  и  перемножить векторно и затем полученный вектор перемножить с вектором  скалярно.

Геометрический смысл смешанного произведения.

 

 

                                           

                                                   

                                                     

                            

                                                          

                                                         

 

 

,   ,   ,    ,   

.                                                        (12)

Если  образуют правую тройку векторов, то смешанное произведение , если левую, то . Выражение (1) определяет объем параллелепипеда через векторы, на которых он построен как на составляющих. Значит, . Поэтому смешанное произведение указывают без указания знаков

.                                                                  (13)

Вычисление смешанного произведения в декартовых системах.  Векторное произведение

.

умножим на вектор  скалярно

.                                (14)

Раскроем определитель по элементам третьей строки

.                                         (15)

Сравнивая правые части равенств (14) и (15), получаем

.                                                                  (16)

П р и м е р.  Найдите объём и высоту параллелепипеда, построенного на векторах

, если A(1;2;3),  B(2;1;4),   D(4;1;5),

 

                                                

                                             

                                                                     

                              D                    С

 

                                           B

Р е ш е н и е. Введём обозначения . Подставляем координаты векторов  в формулу (16)

.

Как известно, , откуда 

.                                                                         (17)

Находим . Для этого вычисляем векторное произведение

,

находим модуль полученного вектора . Подставляем  значения   и    в формулу (17) и  получаем значение высоты

.

 

 

3.7. Системы координат

 

Помимо ДПСК используются другие системы, а именно:

1.         Полярная система координат

                    М

             

 

 

  О                                   U

 

.

Связь между полярными и декартовыми координатами можно получить, если луч OU совместить с ОХ, тогда       ,   , где    при   ,

  при  ,  при  .

Если же , то

 

 

2)Цилиндрическая cистема координат (получается путем дополнения к полярным координатам координаты аппликат).

ХУ остается постоянным, добавляется  Z.

 

                Z   

                                    

                        

                    

                        y         Y                                             

 

                 

 

 X

 

                  

                                                                     

                                                          

 

 

 

.

3) Сферическая система координат

        

                       

                                                       

                              

                     

                            

 

,  .

Связь сферических координат с декартовыми

Координатная поверхность представляет собой сферу.