ЛЕКЦИЯ  30

§10.11. Несобственные интегралы

 

10.11.1. Определение несобственных интегралов

 

О п р е д е л е н и е. Пусть функция  определена на конечном или бесконечном полуинтервале ,  и интегрируема по Риману на любом отрезке , .

Функция  переменного верхнего предела интегрирования

называется несобственным интегралом.

Если предел  существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (существует),

в противном случае, т.е. если этот предел равен бесконечности или не существует,

то несобственный интеграл называется расходящимся (не существует).

По определению,

.                (1)

          Возможны два случая:  

1) – конечно, т.е. ,2) .

   Если  и   определена на  и существует предел , который сходится, то в результате получается  интеграл Римана. Значит, интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла и называется также  собственным интегралом.

Геометрический смысл несобственного и собственного интегралов идентичны, т. е. несобственный интеграл от неотрицательной функции  равен площади криволинейной трапеции

,

 образованной графиком функции . Причём эта трапеция как в первом случае, когда функция  неограниченная, а промежуток  конечный, так и во втором случае, когда функция  ограниченная, а промежуток  бесконечный, всегда является неограниченным множеством

  Если , то

В этом случае несобственный интеграл (1) существует только тогда, когда существует несобственный интеграл

                                                         (2)

и наоборот. Итак, в случае существования интегралов (1)  и  (2) имеем

(3)

Интегралы     и     в  равенстве  (3) –  несобственные, а интеграл    –  собственный.

Если функция  определена на полуинтервале ,  

и интегрируема по Риману на любом отрезке , ,  то несобственный интеграл

 

определяется  как функция

представляющая собой интеграл с переменным нижним пределом интегрирования.

Выражение (1) в этом случае будет иметь вид

.                                            (4)

       З а м е ч а н и е.  Несобственные интегралы от неограниченных функций по конечному промежутку называются также несобственными интегралами второго рода (типа),

а  несобственные интегралы от ограниченных функций по бесконечному промежутку

называются также несобственными интегралами первого рода (типа).

10.10.2. Свойства несобственного интеграла

     

Свойства несобственного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.

1°. (Формула Ньютона Лейбница). Если   какая-либо первообразная функции  на полуинтервале , то      (1)

 Это равенство понимается в том смысле, что либо обе его части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не существуют.

Согласно формуле Ньютона-Лейбница для функций, интегрируемых по Риману, для любого  имеем

.

Перейдя в этом равенстве к пределу при , получим формулу (1).

2°. (Линейность). Если несобственные интегралы    и    сходятся, то для любых чисел ,  сходится и несобственный интеграл , причём

.

3°.(Интегрирование неравенств). Если интегралы     и     сходятся и для всех  выполняется неравенство , то

.

4°.(Правило интегрирования по частям). Если функции  и  кусочно непрерывно дифференцируемы на каждом отрезке , , то

,

причём если любые два из выражений ,  и  имеют смысл (т.е. соответствующие пределы конечны), то имеет смысл и третье.

           5°.(Замена переменной). Пусть функция  непрерывна на , функция  непрерывно дифференцируема на полуинтервале , , причём  при ; тогда

.

  З а м е ч а н и е.  Если  функция  определена на ,  то

      

      З а м е ч а н и е.

   

Несобственный интеграл    представляется  в виде суммы двух интегралов

                                                                                          

Интеграл   сходится, если сходятся интегралы    и  . Однако могут быть случаи, когда каждый из интегралов  и  расходится,  но интеграл

 

сходится. В этом случае говорят, что  сходится в смысле главного значения  Коши

и записывается это так

.

 

Аналогично и для несобственного интеграла второго рода определяется главное значение интеграла в смысле Коши, т. е. если функция не ограничена в точке , , то

.

Если предел конечный, то полагают

.

Иногда достаточно установить сходится или расходится несобственный интеграл, не вычисляя этого интеграла.

С этой целью используются признаки сравнения.

Т е о р е м а 1.(Первый  признак сравнения). Пусть    , тогда

если интеграл  сходится, то сходится и интеграл ;

если интеграл  расходится, то расходится и интеграл .  (Без док.)

Т е о р е м а 2(Второй признак сравнения). Пусть  и  на , при этом , , тогда  и  сходятся или  расходятся одновременно.  (Без док.)

З а м е ч а н и е. При применении признаков сравнения в качестве вспомогательной функции  часто используются функции вида

, , .

  

Несобственные интегралы от этих функции при  сходятся.