ЛЕКЦИЯ  24

 

 

 

ГЛАВА 10. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

10.1. Первообразная и неопределенный интеграл

 

Пусть  конечный или бесконечный промежуток числовой оси, т.е. . Это  могут быть   .

На промежутке  определены функции, причём   дифференцируема.

О п р е д е л е н и е. Функция  называется первообразной  для функции  на промежутке , если  для  выполняется условие: .

При этом если некоторый конец промежутка  принадлежит промежутку, то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке, поэтому первообразная  функции  непрерывна на промежутке .

Если функция  имеет первообразную, то эта  первообразная не единственна, т.е. любая другая функция   тоже будет первообразной: . Справедливо и обратное утверждение: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу.

Действительно, пусть    и   являются первообразными для , т.е.

Значит,  на промежутке .

Возьмем две произвольные точки  и  из этого промежутка. Согласно теореме Лагранжа

.

Так как  то  . Поэтому  , откуда  следует, что ,  , т.е.

О п р е д е л е н и е. Совокупность всех первообразных для функции , заданной на промежутке , называется неопределённым интегралом от функции   и обозначается: .       

 Символ  называется знаком интеграла, а  подынтегральной функцией.

Если  –  какая-либо первообразная функции  на заданном промежутке, то в этом случае пишут

или

.

Из определения следует, что операция вычисления неопределенного интеграла является обратной операции дифференцирования.

 

 

§10.2. Свойства неопределенных интегралов

 

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке .

1°. Если функция  дифференцируема на некотором  промежутке, то на нем

или, что то же самое,

.  

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функции, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2°. Пусть функция  имеет первообразную на промежутке , тогда для всех     имеет место равенство

Это равенство можно записать в виде  . Справедливость последнего следует из того, что   первообразная  для.

3°. Если функция   имеет первообразную на промежутке  и  число, то функция  также имеет на  первообразную, причем при  справедливо равенство      

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть  первообразная функции , т.е. , . Тогда функция   является первообразной функции , ибо , . Поэтому интеграл   состоит из всевозможных функции вида , а интеграл    из всевозможных функций вида.  В силу произвольности , , обе совокупности функции совпадают.

4°. Если функции  и   имеют первообразные на промежутке, то и функция  имеет  первообразную на этом промежутке, причем 

(аддитивность интеграла относительно функции).

Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функции и означает, что сумма каких-либо первообразных для функции  и    является первообразной для  и, наоборот, всякая первообразная для  является суммой некоторых  первообразных для функций  и  . 

З а м е ч а н и е. Если функции  и    имеют первообразные на промежутке ,

 а   –  такие числа, что ,то функция  также имеет первообразную на , причём

    (линейность интегралов).

Это непосредственно следует из свойств 3° и 4°.

 

10.3. Таблица интегралов

 

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т.е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т.е. формула вида , может быть обращена

 . 

 

Используя это, запишем таблицу   неопределенных интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций.

1)          при        

    

2)  

    

3)  

    

            В частности, .

4)

               

5)

     

6)

    

7)

   

8)

     

9)

         

10)                       

    

11)                       

 

12)                     

 

 

10.4. Замена переменной в неопределенном интеграле

 

Замена переменной наряду с интегрированием по частям является основным аналитическим методом вычисления неопределенного интеграла. Вместо переменной интегрирования  вводится новая  , при этом таким образом, чтобы полученный в результате интеграл был бы табличным.

а) Подведение под знак дифференциала.

Для вычисления интеграла   функция  подбирается таким образом, чтобы существовал интеграл , и он был бы табличным:

.

10.5. Интегрирование по частям

 

Основой является формула дифференциала произведения.

Т е о р е м а. Пусть функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем

(1)

Выражение (1) называется  формулой интегрирования по частям

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции  и дифференцируемы на промежутке , тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство

и поэтому

,

 

.               (2)                                                                                                                                                         

Подставляя в правую часть (2)    вместо  и относя произвольную постоянную  к интегралу , получим формулу (1).

С помощью формулы (1) вычисляются многие интегралы. При ее практическом использовании задана левая часть (1), т.е. функция   и дифференциал , а  поэтому  определяется неоднозначно. Обычно в качестве  выбирается функция, записываемая наиболее простой формулой.