ЛЕКЦИЯ 3

2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1. Понятие матрицы

О п р е д е л е н и е. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. – порядок или размер матрицы. Например, матрица

имеет размер , так как в этой матрице количество строк равно , а количество столбцов равно . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами. В общем случае матрицы символически обозначаются следующим образом

Типы матриц:

1. Прямоугольные – .

2. Квадратные – .

3. Трапецеидальные – прямоугольные матрицы, у которых при или .

4. Треугольные – квадратные матрицы, у которых при или .

5. Диагональные – квадратные матрицы, у которых при .

6. Единичная матрица – диагональная матрица, у которой .

7. Траспонированная матрица – это матрица, которая получается из матрицы путём замены в ней строк столбцами.

П р и м е р ы м а т р и ц.

– прямоугольная матрица,

– квадратная матрица,

– трапецеидальная матрица,

– треугольная матрица,

– диагональная матрица,

– единичная матрица.

– транспонировання матрица для матрицы

2.2. Действия с матрицами

С матрицами можно выполнять следующие операции:

1) Сложение матриц. Матрица называется суммой матриц , если , Матрица А и В должны быть одного и того же порядка, Матрица С получится того же порядка, что и матрицы А и В.

П р и м е р. Найдите сумму матриц и .

Р е ш е н и е. Элементы матрицы получаем путём суммирования соответствующих элементов матриц А и В

2) Умножение матрицы на число. Матрица называется произведением матрицы на число если .

П р и м е р. Найдите произведение матрицы на число .

Р е ш е н и е. Элементы матрицы получаем путём умножения элементов матрицы на число

3) Умножение матриц. Матрица называется произведением матрицы размером и матрицы размером , если элементы матрицы вычисляются по формуле

(1)

Перемножать можно только матрицы, у которых количество столбцов первой равно количеству строк второй. Произвольные матрицы перемножать нельзя.

П р и м е р. Найдите произведение матриц

и .

Р е ш е н и е. Согласно формуле (1), имеем

Значит,

Рассмотренные операции с матрицами обладают теми же свойствами, что и операции сложения и умножения для вещественных чисел, за исключением произведения матриц, которое не коммутативно, т.е. . В этом можно убедиться с помощью следующего примера для матриц и . Находим произведения

Как видим, .

2.3. Определители

Каждой квадратной матрице по определённому правилу можно поставить в соответствие единственное число. Это число называется определителем и символически обозначается

Порядок определителя равен порядку квадратной матрицы.

Определитель второго порядка вычисляется следующим образом

, (2)

т.е. из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), вычитается произведение элементов, находящихся на побочной диагонали (идущей из левого нижнего в правый верхний угол).

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Значения элементов матрицы , т.е.

Подставляем в формулу (2) и получаем

Определитель третьего порядка вычисляется с помощью формулы

(3)

З а м е ч а н и е. Чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников (правило Саррюса). Оно заключается в следующем. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и в вершинах треугольников, симметричных относительно главной диагонали

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Подставляем значения элементов матрицы в формулу (3) и находим величину заданного определителя

Для вычисления определителей третьего порядка можно пользоваться ещё правилом «35». Согласно этому правилу к заданной матрице

добавляют ещё первые два столбца

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и на отрезках, параллельных главной диагонали

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются на побочной диагонали и на отрезках, параллельных побочной диагонали

Определитель равен сумме указанных произведений элементов с учетом их знаков.

Основные свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка

С в о й с т в о 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

. (4)

Действительно,

Из чего следует справедливость равенства (4).

Из свойства 1 следует, что свойствами определителей, сформулированные для строк будут такими же как и для столбцов. Поэтому следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк.

С в о й с т в о 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число определитель умножается на это число, т.е.

В справедливости этого свойства можно убедиться, вычислив эти определители

Свойство 3. Определитель равен нулю в следующих случаях:

a) одна из строк нулевая

б) две равные строки

в) элементы двух строк пропорциональны

В справедливости перечисленных свойств легко убедиться с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 4. Если две какие-либо строки определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный

Доказательство этого свойства выполняется с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 5. Если в определителе некоторая строка, например, первая является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и

то определитель будет равен сумме двух определителей, определяемых формулой

Справедливость этого свойства можно доказать, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число

2.4. Обратная матрица

Минором к элементу матрицы -го порядка называется определитель -го порядка той матрицы, которая получается из матрицы в результате вычёркивания -ой строки и -го столбца.

О п р е д е л е н и е. Матрица В называется обратной матрице А, если

АВ=ВА=Е.

Символически обратная матрица обозначается . Вычисляется обратная матрица с помощью формулы

(5)

где – алгебраическое дополнение к элементу .

Вырожденной матрицей называется матрица, у которой определитель равен 0.

Обратные матрицы могут иметь только невырожденные матрицы.

П р и м е р. Найти матрицу, обратную к матрице .

Р е ш е н и е. Вычисляем определитель

Так как определитель матрицы не равен нулю, то существует. Найдем алгебраические дополнения:

;

Подставляем найденные значения определителя матрицы и алгебраических дополнений в формулу (5) и получаем искомое значение обратной матрицы

Выполним проверку, для чего вычислим

Как видим, оба произведения равны единичной матрице. Значит, обратная матрица вычислена верно.

2.5 Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим двум требованиям:

1. Существует минор порядка r.

2. Все миноры порядка r+1 равны 0.

Наиболее простой способ вычисления ранга матрицы сводится к приведению матрицы к трапециидальному виду.

Пример:

Определить ранг матрицы А.

Домножаем первую строчку так, чтобы во второй и третьей получились нули. В данном случае домножаем на 2 и 1

Повторяем те же действия, только теперь вторую строчку домножаем на (-1),чтобы в третьей получились нули.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений имеет решения (т.е. совместна)тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

2.6. Матричный способ решения СЛАУ

Выражение (1)-матричная форма записи системы.

Так как матрица А невырожденная, она имеет обратную матрицу . Умножим равенство (1) слева на

Выражение (2) представляет собой решение в матричной форме.

Пример: решить систему.

Замечание: если главный определитель системы равен 0, то нужно выделить уравнения, для которых определитель не равен 0, а свободные переменные переносятся в правую часть.